纸上谈兵: 左倾堆 (leftist heap)

作者：Vamei 出处：http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载，也请保留这段声明。谢谢！

亲戚亲戚朋友曾经讲解了堆(heap)的概念。堆是一有一个优先队列。每次从堆中取出的元素都是堆中优先级最高的元素。

在曾经的文章中，亲戚亲戚朋友基于删剪二叉树(complete binary tree)实现了堆，曾经的堆叫做二叉堆(binary heap)。binary heap有一有一个基本要求: 每个节点的优先级大于一有一个子节点的优先级。在这种 要求下，堆的根节点始终是堆的元素中优先级最高的元素。此外，亲戚亲戚朋友实现了delete_min()操作，从堆中取出元素；insert()操作，向堆中插入元素。

现在，亲戚亲戚朋友考虑下面的大大问题: 如何合并(merge)一有一个堆呢？ 一有一个方案是从第一有一个堆中不断取出一有一个元素，并插入到第六个堆中。曾经，亲戚亲戚朋友时要量级为n的操作。亲戚亲戚朋友下面要实现更有带宽的合并。

左倾堆 (Leftist Heap)

左倾堆基于二叉树(binary tree)。左倾堆的节点满足堆的基本要求，即(要求1)每个节点的优先级大于子节点的优先级。与二叉堆不同，左倾堆并都是删剪二叉树。二叉堆是非常平衡的树内外部，它的每一层都被填满(除了最下面一层)。左倾堆则是维持有有一种不平衡的内外部: 它的左子树节点往往比右子树有更多的节点。

不平衡

左倾堆的每个节点有一有一个附加信息，即null path length (npl)。npl是从一有一个节点到一有一个最近的不满节点的路径长度(不满节点:一有一个子节点最少有一有一个为NULL)。一有一个叶节点的npl为0，一有一个NULL节点的npl为-1。

各个节点的npl (这里显示的都是元素值)

根据npl的定义，亲戚亲戚朋友有推论1: 一有一个节点的npl等于子节点npl中最小值加1: npl(node) = min(npl(lchild), npl(rchild)) + 1

有了npl的概念，亲戚亲戚朋友能不都能否 删剪的定义左倾堆。左倾堆是一有一个符合下面要求的二叉树:

• 要求1: 每个节点的优先级大于子节点的优先级。
• 要求2: 对于任意节点的左右一有一个子节点，右子节点的npl不大于左子节点的npl。

左倾堆的性质

从里面的要求1和2能不都能否 知道，左倾堆的任意子树也是一有一个左倾堆。

可能左倾堆的内外部，左倾堆的右侧路径(right path)较短。右侧路径是指亲戚亲戚朋友从根节点曾经刚开始，不断前往右子节点所构成的路径。对于一有一个左倾堆来说，右侧路径上节点数不大于任意这种 路径上的节点数，有刚刚，将违反左倾堆的要求2。

亲戚亲戚朋友还能不都能否 证明推论2，可能一有一个左倾堆的右侧路径上有r个节点，这麼该左倾堆将最少有2^r-一有一个节点。亲戚亲戚朋友采用归纳法证明:

• r = 1, 右侧路径上有一有一个节点，所以最少有2¹-一有一个节点
• 假设任意r, 左倾堆最少有2^r-1节点。这麼对于一有一个右侧路径节点数为r+1的左倾堆来说，根节点的右子树的右侧路径有r个节点。根节点的左子树的右侧路径最少有r个节点。根据假设，该左倾堆将包括: 
  • 右子树:最少有2^r-1个节点
  • 左子树: 最少有2^r-1个节点
  • 一有一个根节点
• 有刚刚，对于r+1，整个左倾堆最少有2^r+1-一有一个节点。证明完成

换句话说，一有一个n节点的的左倾堆，它的右侧路径最多有log(n+1)个节点。可能对右侧路径进行操作，其冗杂度将是log(n)量级。

亲戚亲戚朋友将沿着右侧路径进行左倾堆的合并操作。合并采用递归。合并如下:

1. (base case) 可能一有一个空左倾堆与一有一个非空左倾堆合并，返回非空左倾堆
2. 可能一有一个左倾堆都非空，这麼比较一有一个根节点。取较小的根节点为新的根节点(满足要求1)，合并较小根节点堆的右子堆与较大根节点堆。
3. 可能右子堆npl > 左子堆npl，互换右子堆与左子堆。
4. 更新根节点的npl = 右子堆npl + 1
   
   

里面的合并算法调用了合并操作自身，所以是递归。可能亲戚亲戚朋友沿着右侧路径递归，所以冗杂度是log(n)量级。

左倾堆的实现

里面能不都能否 都看，左倾堆能不都能否 相对高效的实现合并(merge)操作。

这种 的堆操作，比如insert, delete_min都能不都能否 在merge基础上实现：

• 插入(insert): 将一有一个单节点左倾堆(新增节点)与一有一个已有左倾堆合并。
• 删除(delete_min): 删除根节点，将剩余的左右子堆合并。

/* By Vamei */

/* 
 * leftist heap
 * bassed on binary tree 
 */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct node *position;
typedef int ElementTP;

struct node {
    ElementTP element;
    int npl;
    position lchild;
    position rchild;
};

typedef struct node *LHEAP;

LHEAP insert(ElementTP, LHEAP);
ElementTP find_min(LHEAP);
LHEAP delete_min(LHEAP);
LHEAP merge(LHEAP, LHEAP);
static LHEAP merge1(LHEAP, LHEAP);
static LHEAP swap_children(LHEAP);

int main(void)
{
    LHEAP h1=NULL;
    LHEAP h2=NULL;
    h1 = insert(7, h1);
    h1 = insert(3, h1);
    h1 = insert(5, h1);

    h2 = insert(2, h2);
    h2 = insert(4, h2);
    h2 = insert(8, h2);

    h1 = merge(h1, h2);
    printf("minimum: %d\n", find_min(h1));
    return 0;
}

/*
 * insert:
 * merge a single-node leftist heap with a leftist heap
 * */
LHEAP insert(ElementTP value, LHEAP h)
{
    LHEAP single;
    single = (position) malloc(sizeof(struct node));

    // initialze
    single->element  = value;
    single->lchild   = NULL;
    single->rchild   = NULL;

    return  merge(single, h);
}

/*
 * find_min:
 * return root value in the tree
 * */
ElementTP find_min(LHEAP h)
{
    if(h != NULL) return h->element;
    else exit(1);
}

/*
 * delete_min:
 * remove root, then merge two subheaps
 * */
LHEAP delete_min(LHEAP h)
{
    LHEAP l,r;
    l = h->lchild;
    r = h->rchild;
    free(h);
    return merge(l, r);
}

/*
 * merge two leftist heaps
 * */
LHEAP merge(LHEAP h1, LHEAP h2) 
{

    // if one heap is null, return the other
    if(h1 == NULL) return h2;
    if(h2 == NULL) return h1;

    // if both are not null
    if (h1->element < h2->element) { 
        return merge1(h1, h2);
    }
    else {
        return merge1(h2, h1);
    }
}

// h1->element < h2->element
static LHEAP merge1(LHEAP h1, LHEAP h2)
{
    if (h1->lchild == NULL) { 
        /* h1 is a single node, npl is 0 */
        h1->lchild = h2; 
    /* rchild is NULL, npl of h1 is still 0 */
    }
    else {
        // left is not NULL
    // merge h2 to right
    // swap if necessary
        h1->rchild = merge(h1->rchild, h2);
    if(h1->lchild->npl < h1->rchild->npl) {
        swap_children(h1);
    }
        h1->npl = h1->rchild->npl + 1; // update npl
    }
    return h1;
}

// swap: keep leftist property
static LHEAP swap_children(LHEAP h) 
{
    LHEAP tmp;
    tmp       = h->lchild;
    h->lchild = h->rchild;
    h->rchild = tmp;
}

总结

左倾堆利用不平衡的节点分布，让右侧路径保持比较短的请况，从而提高合并的带宽。

在合并过程，通过左右互换，来恢复左倾堆的性质。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据内外部”系列。